Álgebra · Funciones cuadráticas
La parábola y las soluciones cuando y = 0
Cómo leer los interceptos en x, el vértice y las raíces de una ecuación cuadrática¿Qué es una ecuación cuadrática?
Es una ecuación donde la variable está elevada al cuadrado (x²). Se ve así:
En el ejemplo de arriba, y = x² + 4x − 5, tenemos a = 1, b = 4 y c = −5.
Su gráfica nunca es una línea recta: siempre es una curva en forma de U llamada parábola.
La pregunta clave: ¿qué pasa cuando y = 0?
Esta es la pregunta que más aparece en el GED, y tiene una respuesta visual muy sencilla.
¿Por qué? Porque todos los puntos del eje x tienen altura cero. Si la altura (y) es 0, el punto tiene que estar sobre esa línea horizontal.
Aplícalo a la gráfica de arriba
Cuatro nombres para lo mismo
El examen usa varias palabras para pedirte exactamente el mismo dato. Todas significan "los valores de x cuando y = 0":
| Palabra | Qué te están pidiendo |
|---|---|
| Soluciones | Los valores de x donde la curva cruza el eje x |
| Raíces | Lo mismo |
| Ceros de la función | Lo mismo |
| Interceptos en x | Lo mismo |
Comprobar tu respuesta (el paso que salva puntos)
Sustituye cada valor en la ecuación. Si te da 0, es correcto.
Probamos x = 1
Probamos x = −5
Probamos x = −2 (una opción falsa)
Resolver sin gráfica: factorizar
Si no te dan la gráfica, puedes factorizar. Busca dos números que multiplicados den c y sumados den b.
Ejemplo: x² + 4x − 5 = 0
x + 5 = 0 → x = −5 · x − 1 = 0 → x = 1
El vértice y el eje de simetría
El vértice es la punta de la parábola: el punto más bajo si abre hacia arriba, o el más alto si abre hacia abajo.
En la gráfica de arriba el vértice está en (−2, −9): es donde la curva deja de bajar y empieza a subir.
La línea vertical que pasa por el vértice se llama eje de simetría. La parábola es idéntica de los dos lados de esa línea.
¿Cuántas soluciones puede haber?
| Si la parábola… | Entonces hay… |
|---|---|
| Cruza el eje x en dos puntos | 2 soluciones |
| Toca el eje x en un solo punto (el vértice) | 1 solución |
| Nunca toca el eje x | ninguna solución real |
Traduce la pregunta antes de contestar
| Si la pregunta dice… | Mira… |
|---|---|
| "cuando y = 0" | dónde la curva cruza el eje x (horizontal) |
| "cuando x = 0" | dónde la curva cruza el eje y (vertical) |
| "las soluciones / raíces / ceros" | los cruces con el eje x |
| "el intercepto en y" | el cruce con el eje y, que es la c |
| "el valor mínimo" | la y del vértice |
| "el eje de simetría" | la x del vértice |
| "¿cuántas soluciones?" | cuántas veces toca el eje x |
Estrategia de 4 pasos con gráfica
Errores comunes que debes evitar
- Dar solo una solución. Si la curva cruza dos veces, hay dos valores de x.
- Confundir el vértice con las raíces. El vértice de la gráfica del ejemplo es (−2, −9); las raíces son −5 y 1.
- Leer el eje equivocado. Con y = 0 se lee el eje horizontal, no el vertical.
- Elevar mal un negativo. (−5)² = 25, no −25.
- Olvidar cambiar el signo al despejar. El factor (x + 5) da la solución x = −5.
- Confundir el intercepto en y con una solución. El −5 de la ecuación y = x² + 4x − 5 es dónde cruza el eje vertical.
Cómo factorizar rápido
Para x² + bx + c, busca dos números que multiplicados den c y sumados den b.
| Ecuación | Factores | Soluciones |
|---|---|---|
| x² + 4x − 5 | (x + 5)(x − 1) | −5 y 1 |
| x² − 2x − 3 | (x + 1)(x − 3) | −1 y 3 |
| x² + 6x + 8 | (x + 2)(x + 4) | −2 y −4 |
| x² − 4 | (x + 2)(x − 2) | −2 y 2 |
| x² − 6x + 9 | (x − 3)(x − 3) | 3 (una sola) |
Truco: probar las opciones al revés
Si no te dan la gráfica y no logras factorizar, sustituye las opciones en la ecuación. Es opción múltiple: la respuesta ya está ahí.
Vocabulario clave español ↔ inglés
| Español | English |
|---|---|
| Ecuación cuadrática | Quadratic equation |
| Parábola | Parabola |
| Raíces / ceros | Roots / zeros |
| Soluciones | Solutions |
| Intercepto en x | x-intercept |
| Intercepto en y | y-intercept |
| Vértice | Vertex |
| Eje de simetría | Axis of symmetry |
| Factorizar | To factor |
| Elevar al cuadrado | To square |
| Valor mínimo / máximo | Minimum / maximum value |
| Plano de coordenadas | Coordinate plane |