Álgebra · Desigualdades
Escribir una desigualdad a partir de un problema
Convertir unidades, escoger el símbolo correcto y encontrar el máximoLa jornada de 9 horas: 1 hora de almuerzo + cobros de ½ hora
El diagrama cambia según la pregunta del quiz.
El problema
Sandra procesa cobros médicos. Procesa cada cobro en 30 minutos y debe usar 1 hora cada día para almorzar. Puede trabajar un máximo de 9 horas al día, incluyendo la hora del almuerzo. ¿Cuál desigualdad se puede usar para encontrar el mayor número de cobros médicos, x, que Sandra puede procesar en un día?
Fíjate en las tres piezas: algo que se repite (cada cobro), algo fijo (el almuerzo) y un límite (9 horas).
La fórmula que sirve para todos estos problemas
(lo que se repite) · x + (lo fijo) ≤ límite
| Pieza | Cómo la reconoces | Dónde va |
|---|---|---|
| Lo que se repite | viene con "por cada", "por hora", "cada uno" | multiplica a x |
| Lo fijo | pasa una sola vez: cuota, visita, almuerzo, tarifa base | se suma |
| El límite | máximo, mínimo, presupuesto, tope | va después del símbolo |
🔁 Las 8 preguntas del quiz son de este mismo tipo: te dan un problema y tú escoges la desigualdad. Cambia el contexto (dinero, tiempo, peso), pero la estructura es siempre la misma.
Los cuatro símbolos
| Símbolo | Se lee | Frases típicas |
|---|---|---|
| ≤ | menor o igual que | máximo, no más de, hasta, a lo sumo |
| ≥ | mayor o igual que | mínimo, al menos, por lo menos, no menos de |
| < | menor que | menos de, por debajo de |
| > | mayor que | más de, por encima de |
🔑 La diferencia entre ≤ y < es si el número del límite cuenta o no. "Máximo de 9 horas" significa que trabajar exactamente 9 horas sí está permitido, por eso lleva la rayita: ≤.
Paso 1 — Poner todo en las mismas unidades
El límite está en horas, pero cada cobro está en minutos. No se pueden mezclar.
30 minutos ÷ 60 = 0.5 horas
Entonces: cada cobro toma 0.5 horas, y x cobros toman 0.5x horas.
🚨 Este es el error número uno del problema. Si dejas el 30, escribes 30x + 1 ≤ 9, que significaría "30 horas por cobro". Con eso Sandra no alcanzaría a procesar ni un solo cobro en el día.
Paso 2 — Armar la desigualdad
| Frase del problema | Se escribe |
|---|---|
| Cada cobro toma media hora, y son x cobros | 0.5x |
| Más 1 hora de almuerzo | + 1 |
| Máximo de 9 horas al día | ≤ 9 |
0.5x + 1 ≤ 9
La palabra "incluyendo la hora del almuerzo" es la que obliga a sumar el 1 dentro del límite: el almuerzo se cuenta como parte de las 9 horas.
Paso 3 — Resolverla (por si te piden el número)
Se resuelve igual que una ecuación de dos pasos.
Paso 1: Resta 1 en los dos lados → 0.5x ≤ 8
Paso 2: Divide entre 0.5 en los dos lados → x ≤ 16
Interpretación: Sandra puede procesar 16 cobros como máximo en un día.
Comprobación: 0.5(16) + 1 = 8 + 1 = 9 ✓
➗ Dividir entre 0.5 es lo mismo que multiplicar por 2. Si te confunden los decimales, piensa: "¿cuántas medias horas caben en 8 horas?" → 16.
La única regla especial de las desigualdades
Se resuelven igual que las ecuaciones, con una excepción:
Si multiplicas o divides los dos lados por un número negativo, el símbolo se voltea.
−2x < 10 → divides entre −2 → x > −5 (el símbolo cambió de sentido)
En este problema no pasa, porque dividimos entre 0.5, que es positivo. Pero en el examen aparece seguido.
De dónde salen las opciones falsas
30x + 1 ≤ 9 — Mezcla unidades: deja los 30 minutos junto a horas. Nunca se convirtió el tiempo.
0.5x + 1 ≥ 9 — La conversión está bien, pero el símbolo está al revés. Diría que Sandra tiene que trabajar al menos 9 horas.
1x + 0.5 ≤ 9 — Cambió de lugar los números: puso el almuerzo multiplicando a x y el cobro como término fijo.
🎯 Fíjate en el patrón: casi todas las opciones falsas nacen de tres decisiones — el número que multiplica a x, el número que se suma, y el símbolo. Si aciertas las tres, la respuesta sale sola.
0
Correctas
0
Incorrectas
0/8
Progreso
Frases que te dicen el símbolo
| Si el problema dice… | Usa… |
|---|---|
| un máximo de / no más de / hasta | ≤ |
| un mínimo de / al menos / por lo menos | ≥ |
| menos de / debe ser menor que | < |
| más de / debe superar | > |
| a lo sumo / cuando mucho | ≤ |
| no puede pasar de / le alcanza para | ≤ |
| necesita juntar / debe alcanzar | ≥ |
💡 Regla corta: si el problema pregunta por el mayor número posible, la desigualdad casi siempre lleva ≤. Si pregunta por el menor número necesario, lleva ≥.
Cómo distinguir "lo que se repite" de "lo fijo"
| Problema | Se repite (× x) | Fijo (+) |
|---|---|---|
| Plomero: $75 la visita, $40 la hora | 40x | + 75 |
| Taxi: $3.50 de banderazo, $2 la milla | 2x | + 3.50 |
| Salón: $200 de renta, $45 por invitado | 45x | + 200 |
| Camioneta: pesa 2,000 lb, cajas de 250 lb | 250x | + 2000 |
🔄 El error más común es intercambiarlos: escribir 75x + 40 en vez de 40x + 75. Pregúntate: "¿cuál de los dos números depende de la cantidad?" Ese va con la x.
Convertir el tiempo antes de calcular
| Minutos | En horas | Minutos | En horas |
|---|---|---|---|
| 15 | 0.25 | 45 | 0.75 |
| 20 | 0.33… | 50 | 0.83… |
| 30 | 0.5 | 60 | 1 |
| 40 | 0.66… | 90 | 1.5 |
minutos ÷ 60 = horas · horas × 60 = minutos
⏱️ También puedes trabajar todo en minutos: 30x + 60 ≤ 540. Da la misma respuesta (x ≤ 16). Lo prohibido es mezclar las dos unidades en una misma desigualdad.
Estrategia de 5 pasos
1. Define la x. Escríbelo: "x = número de cobros".
2. Revisa las unidades. Si hay minutos y horas mezclados, convierte antes de escribir nada.
3. Encuentra lo que se repite (va multiplicado por x) y lo fijo (se suma una vez).
4. Escoge el símbolo según la palabra clave: máximo → ≤, mínimo → ≥.
5. Comprueba con el valor límite. Sustituye tu respuesta; los dos lados deben quedar iguales o cumplirse.
Cuando la respuesta no da un número entero
Si al resolver te queda algo como x ≤ 10.67 y estás contando cosas completas (cobros, personas, cajas), la respuesta es 10.
Con ≤ : redondeas hacia abajo. Sandra no puede procesar 10.67 cobros; alcanza para 10.
Con ≥ : redondeas hacia arriba. Si necesita al menos 10.2 cajas, hay que comprar 11.
🧠 Piensa en el contexto, no solo en el decimal: ¿me sobra o me falta si redondeo?
Errores comunes que debes evitar
- Mezclar minutos con horas en la misma desigualdad.
- Intercambiar el número fijo con el que se repite (75x + 40 en vez de 40x + 75).
- Restar el término fijo en vez de sumarlo.
- Voltear el símbolo sin razón. Solo se voltea al multiplicar o dividir por un negativo.
- Olvidar el término fijo (el almuerzo, la cuota inicial, la tarifa base).
- Usar < donde va ≤: "máximo" incluye el número del límite.
Vocabulario clave español ↔ inglés
| Español | English |
|---|---|
| Desigualdad | Inequality |
| Máximo / mínimo | Maximum / minimum |
| Al menos | At least |
| A lo sumo / cuando mucho | At most |
| No más de | No more than |
| Menor o igual que | Less than or equal to |
| Cobro médico | Medical claim |
| Tarifa base / banderazo | Base fare / flat fee |
| Cuota de visita | Service call fee |
| Presupuesto | Budget |
| Jornada laboral | Workday |
| Resolver / despejar | To solve |