Álgebra · Sistemas de ecuaciones
Dos ecuaciones, dos incógnitas
Resolver por eliminación y contestar la variable correctaEl sistema, paso a paso
El desarrollo cambia según la pregunta del quiz.
El problema
Una empresa de banquetes prepara 300 sándwiches con un presupuesto de $2,450. Cobra $7 por cada sándwich vegetariano (x) y $9 por cada sándwich de pavo (y).
x + y = 300
7x + 9y = 2,450
¿Cuántos sándwiches de pavo tiene que preparar?
x + y = 300
7x + 9y = 2,450
¿Cuántos sándwiches de pavo tiene que preparar?
📌 Subraya de pavo desde ahora. El sistema da dos números y solo uno responde la pregunta.
Qué dice cada ecuación
| Ecuación | Qué cuenta |
|---|---|
| x + y = 300 | la cantidad de sándwiches: los vegetarianos más los de pavo son 300 |
| 7x + 9y = 2,450 | el dinero: $7 por cada vegetariano más $9 por cada uno de pavo son $2,450 |
💡 En casi todos los sistemas del GED una ecuación cuenta cosas y la otra cuenta dinero. Identificar cuál es cuál ayuda a no perderse.
Método de eliminación
La idea es hacer que una de las variables desaparezca al restar las ecuaciones.
Paso 1 — iguala los coeficientes de x. Multiplica toda la primera ecuación por 7:
7(x + y = 300) → 7x + 7y = 2,100
7(x + y = 300) → 7x + 7y = 2,100
Paso 2 — resta las dos ecuaciones:
(7x + 9y) − (7x + 7y) = 2,450 − 2,100
(7x + 9y) − (7x + 7y) = 2,450 − 2,100
2y = 350
Paso 3 — divide entre 2: y = 175
175 sándwiches de pavo
✂️ Al restar, los 7x se cancelan porque son idénticos. Por eso multiplicamos la primera ecuación por 7 y no por otro número.
Método de sustitución
Si prefieres despejar, funciona igual de bien:
De la primera: x = 300 − y
Sustituye en la segunda: 7(300 − y) + 9y = 2,450
Distribuye: 2,100 − 7y + 9y = 2,450
Junta: 2,100 + 2y = 2,450 → 2y = 350 → y = 175
🔄 Los dos métodos llegan a la misma ecuación 2y = 350. Usa el que te resulte más natural; la eliminación suele ser más rápida cuando los coeficientes son fáciles.
La trampa: 125 también es una respuesta… de otra pregunta
Si y = 175, entonces x = 300 − 175 = 125. Ese número es real y correcto, pero es la cantidad de sándwiches vegetarianos.
| Variable | Qué representa | Valor |
|---|---|---|
| x | sándwiches vegetarianos | 125 |
| y | sándwiches de pavo | 175 ✓ |
🎯 Este es el distractor más eficaz del GED en sistemas: poner la otra variable como opción. Por eso conviene escribir al lado de tu resultado qué representa: "y = 175 = pavo".
Comprobar en las dos ecuaciones
Cantidad: 125 + 175 = 300 ✓
Dinero: 7(125) + 9(175) = 875 + 1,575 = $2,450 ✓
Los dos resultados coinciden con los datos del problema, así que la solución es correcta.
⚠️ Una solución debe cumplir las dos ecuaciones. Si solo cumple una, está mal. Por ejemplo, 285 y 15 suman 300, pero dan $2,670 en dinero.
0
Correctas
0
Incorrectas
0/8
Progreso
Estrategia de 5 pasos
1. Anota qué representa cada letra. "x = vegetarianos, y = pavo".
2. Subraya qué te preguntan. Aquí: los de pavo.
3. Elimina una variable multiplicando y restando.
4. Encuentra la otra sustituyendo en la ecuación más simple.
5. Comprueba en las dos ecuaciones y contesta la variable correcta.
✍️ El paso 1 toma cinco segundos y evita el error más común de todos: dar el valor de la variable equivocada.
Por qué número multiplicar
Para eliminar una variable, sus coeficientes deben quedar iguales.
| Sistema | Para eliminar x | Para eliminar y |
|---|---|---|
| x + y = 300 7x + 9y = 2450 | × 7 la primera | × 9 la primera |
| 2x + 3y = 12 4x + y = 14 | × 2 la primera | × 3 la segunda |
🔢 Si multiplicas la primera por 9 obtienes 9x + 9y = 2,700 y al restar queda −2x = −250, o sea x = 125. También llegas a la respuesta, pero obtienes primero la variable que no te piden.
Truco rápido: probar las opciones
Como es opción múltiple, puedes sustituir cada opción en la ecuación del dinero.
| Si y (pavo) fuera… | Entonces x = 300 − y | 7x + 9y | ¿$2,450? |
|---|---|---|---|
| 285 | 15 | 2,670 | No |
| 275 | 25 | 2,650 | No |
| 125 | 175 | 2,350 | No |
| 175 | 125 | 2,450 | Sí ✓ |
⏱️ Con calculadora esto toma menos de dos minutos y no depende de que recuerdes el método de eliminación.
Cómo se ven estos problemas
| Contexto | Ecuación de cantidad | Ecuación de valor |
|---|---|---|
| Boletos de adulto y niño | a + n = total | precio·a + precio·n = ingresos |
| Monedas de 5 y 10 centavos | c + d = monedas | 0.05c + 0.10d = dinero |
| Sándwiches de dos tipos | x + y = 300 | 7x + 9y = 2450 |
🧩 Siempre es el mismo patrón: una ecuación cuenta objetos y la otra cuenta dinero. Reconocerlo te deja armar el sistema en segundos.
Errores comunes que debes evitar
- Contestar la otra variable. El 125 es de vegetarianos, no de pavo.
- Comprobar en una sola ecuación. La solución debe cumplir las dos.
- Sumar cuando había que restar al eliminar.
- Multiplicar solo un lado de la ecuación.
- Olvidar distribuir en la sustitución: 7(300 − y) es 2,100 − 7y.
- Confundir qué letra es cuál cuando el problema define x e y al revés de lo que esperabas.
Vocabulario clave español ↔ inglés
| Español | English |
|---|---|
| Sistema de ecuaciones | System of equations |
| Eliminación | Elimination |
| Sustitución | Substitution |
| Incógnita / variable | Unknown / variable |
| Coeficiente | Coefficient |
| Presupuesto | Budget |
| Empresa de banquetes | Catering company |
| Comprobar | To check |