Geometría analítica · Pendiente
¿Paralelas, perpendiculares o ninguna?
Comparar dos líneas mirando solo su pendienteEl problema
y = 3x + 9
No hay que graficar nada ni resolver el sistema. Toda la respuesta está en un solo número de cada ecuación: la pendiente.
Primero: identifica la pendiente
Las dos ecuaciones ya están en forma pendiente-intercepto:
| Ecuación | Pendiente (m) | Intercepto en y (b) |
|---|---|---|
| y = −3x + 9 | −3 | 9 |
| y = 3x + 9 | 3 | 9 |
Prueba 1 — ¿Son paralelas?
Dos líneas paralelas suben o bajan con la misma inclinación, así que nunca se tocan.
Prueba 2 — ¿Son perpendiculares?
Es decir, una pendiente tiene que ser el recíproco negativo de la otra: se voltea la fracción y se cambia el signo.
| Pendiente | Su perpendicular | Comprobación |
|---|---|---|
| −3 | 1/3 | −3 × 1/3 = −1 ✓ |
| 3 | −1/3 | 3 × −1/3 = −1 ✓ |
| 2/5 | −5/2 | 2/5 × −5/2 = −1 ✓ |
La trampa de este problema
Cambiar solo el signo produce una línea que es el reflejo de la otra, no una perpendicular. Para que sean perpendiculares hay que cambiar el signo y además voltear la fracción.
| Relación entre −3 y 3 | ¿Qué es? |
|---|---|
| Mismo número, signo contrario | Son opuestas (reflejo) |
| Fracción volteada y signo contrario | Serían recíprocas negativas |
Prueba 3 — ¿Son la misma línea?
La respuesta
Se cruzan en (0, 9) —el intercepto que comparten— pero el ángulo no es recto.
Las tres reglas, en una tabla
| Relación | Pendientes | Interceptos |
|---|---|---|
| Paralelas | iguales | distintos |
| Perpendiculares | m₁ × m₂ = −1 | no importa |
| La misma línea | iguales | iguales |
| Ninguna | distintas y su producto ≠ −1 | no importa |
Recíproco negativo en 2 movimientos
Si la pendiente es un número entero, escríbelo como fracción sobre 1 antes de voltearlo:
| m | Como fracción | Voltea | Cambia el signo |
|---|---|---|---|
| −3 | −3/1 | −1/3 | 1/3 |
| 4 | 4/1 | 1/4 | −1/4 |
| −2/7 | −2/7 | −7/2 | 7/2 |
Vocabulario del examen
- Pendiente — qué tanto sube o baja la línea. Es la m.
- Intercepto en y (u ordenada al origen) — dónde cruza el eje vertical. Es la b.
- Paralelas — nunca se tocan.
- Perpendiculares — se cruzan formando un ángulo de 90°.
- Recíproco — la fracción volteada.
- Recíproco negativo — la fracción volteada y con el signo cambiado.
- Coinciden / son iguales — es la misma línea escrita dos veces.
Si la ecuación NO está despejada
A veces te dan algo como 6x + 2y = 14. No puedes leer la pendiente así. Despeja la y primero:
Ahora sí: la pendiente es −3.
Dos casos especiales
| Línea | Cómo se ve | Pendiente |
|---|---|---|
| y = 4 | horizontal | 0 |
| x = 4 | vertical | indefinida |
Una horizontal y una vertical sí son perpendiculares, aunque el producto de sus pendientes no se pueda calcular. Es la única excepción a la regla del −1.
Comprobación con dos puntos
Si dudas, evalúa las dos ecuaciones en el mismo par de valores de x y observa qué pasa:
| x | y = −3x + 9 | y = 3x + 9 |
|---|---|---|
| 0 | 9 | 9 |
| 1 | 6 | 12 |
| 2 | 3 | 15 |