El problema
Un banco cobra una cuota con base en el número de cheques que el cliente hace cada mes,
x. La diferencia entre los cobros por una cuenta básica y una cuenta especial está representada por la expresión
(0.22x + 5) − (0.10x + 15)
¿Cuál expresión simplificada representa la diferencia entre los cobros?
No hay que calcular dinero ni sustituir números. Solo hay que simplificar, y todo se juega en el signo menos que está entre los dos paréntesis.
¿Qué significa cada expresión?
| Cuenta | Expresión | Cuota fija | Por cheque |
|---|
| Básica | 0.22x + 5 | $5 | $0.22 |
| Especial | 0.10x + 15 | $15 | $0.10 |
La cuenta especial cobra más al mes pero menos por cheque. Por eso tiene sentido preguntarse cuál conviene, y por eso el problema resta una expresión de la otra.
Paso 1 — Reparte el signo menos
El menos que está afuera del segundo paréntesis no le pertenece solo al primer término. Le toca a todos los términos de adentro.
− (0.10x + 15) = − 0.10x − 15
El 0.10x estaba sumando → ahora resta.
El 15 estaba sumando → ahora resta.
🔑 Truco para no olvidarlo: piensa que el menos es un (−1) multiplicando. −1 × (0.10x + 15) = −0.10x − 15. Y como todo lo que multiplica se reparte, los dos signos cambian.
Paso 2 — Quita los paréntesis
El primer paréntesis tiene un + invisible delante, así que ahí nada cambia:
0.22x + 5 − 0.10x − 15
| En el original | Al quitar el paréntesis |
|---|
| +(0.22x + 5) | 0.22x + 5 (igual) |
| −(0.10x + 15) | −0.10x − 15 (cambian) |
Paso 3 — Junta los términos semejantes
Solo se suman o restan cosas del mismo tipo: las x con las x, los números solos con los números solos.
Con x: 0.22x − 0.10x = 0.12x
Números solos: 5 − 15 = −10
0.12x − 10
🧮 Para restar los decimales, alinea el punto: 0.22 − 0.10 = 0.12. Si te ayuda, piénsalo en centavos: 22 − 10 = 12 centavos por cheque.
Por qué la respuesta tiene DOS términos
0.12x y 10 no se pueden juntar. Uno depende de cuántos cheques hagas; el otro es una cantidad fija.
0.12x − 10 ≠ −9.88x — Restar 10 de 0.12 sería mezclar cheques con dólares.
🍎 Comparación: 3 manzanas + 2 naranjas no son "5 manzanaranjas". Se quedan separadas. Igual pasa con 0.12x y −10.
De dónde salen las opciones incorrectas
9.88x — Sumó lo de adentro de cada paréntesis como si fueran números normales: 0.22 + 5 = 5.22 y 0.10 + 15 = 15.10, y luego 5.22 − 15.10 = −9.88.
0.12x + 20 — Repartió el menos al 0.10x pero se le olvidó el 15, y calculó 5 + 15 = 20.
20.12x — Cometió el error anterior y además juntó 0.12 con 20.
🔍 Fíjate que las tres opciones incorrectas vienen de solo dos errores: no repartir el menos y juntar términos que no son semejantes. Si evitas esos dos, ninguna opción falsa te alcanza.
Comprobación rápida con un número
Si dudas de tu respuesta, prueba con un valor cualquiera. Usa x = 100 cheques:
Básica: 0.22(100) + 5 = $27
Especial: 0.10(100) + 15 = $25
Diferencia real: 27 − 25 = $2
Tu respuesta: 0.12(100) − 10 = 12 − 10 = $2 ✓
⏱️ Esta comprobación toma menos de un minuto y descarta todas las opciones falsas de golpe: 9.88(100) daría $988, algo imposible para una cuota de banco.
La regla del signo, en tres casos
| Lo que ves | Al quitar el paréntesis |
|---|
| + (a + b) | a + b |
| − (a + b) | −a − b |
| − (a − b) | −a + b |
✍️ Consejo práctico: antes de simplificar, escribe el signo nuevo encima de cada término del segundo paréntesis. Ese medio segundo evita el error más común del examen.
¿Qué son términos semejantes?
Dos términos son semejantes si tienen exactamente la misma letra con el mismo exponente.
| Par | ¿Semejantes? | Resultado |
|---|
| 0.22x y 0.10x | Sí | 0.12x |
| 5 y 15 | Sí | −10 |
| 0.12x y 10 | No | se quedan aparte |
| 3x y 3x² | No | se quedan aparte |
Palabras que piden una resta
- la diferencia entre A y B → A − B
- cuánto más cobra A que B → A − B
- cuánto ahorra al cambiar de A a B → A − B
- menos que, restar, quitar, disminuir
↔️ El orden importa. "La diferencia entre la básica y la especial" significa básica − especial, en ese orden. Si lo inviertes, obtienes −0.12x + 10, que es la misma cantidad con el signo cambiado.
Restar decimales sin equivocarte
Alinea el punto decimal, uno debajo del otro.
Completa con ceros si hace falta: 0.22 − 0.10.
O conviértelos a centavos: 22¢ − 10¢ = 12¢ = 0.12.
| Resta | En centavos | Resultado |
|---|
| 0.22 − 0.10 | 22 − 10 | 0.12 |
| 0.35 − 0.15 | 35 − 15 | 0.20 |
| 0.50 − 0.08 | 50 − 8 | 0.42 |
La estrategia de sustituir un número
En preguntas de "¿cuál expresión es equivalente?" siempre puedes escoger un valor para x, evaluar el original y evaluar cada opción. La que coincida es la correcta.
Evita x = 0 y x = 1 si puedes: muchas opciones incorrectas también funcionan con esos valores.
Con decimales, x = 100 es cómodo porque los centavos se vuelven dólares enteros.
| Opción | Valor en x = 100 | ¿Coincide con $2? |
|---|
| 9.88x | 988 | No |
| 0.12x + 20 | 32 | No |
| 20.12x | 2,012 | No |
| 0.12x − 10 | 2 | Sí ✓ |
El significado del resultado
La expresión 0.12x − 10 también cuenta una historia: por cada cheque, la cuenta básica cobra 12 centavos más, pero empieza $10 abajo por la cuota mensual.
Si 0.12x − 10 es negativo, la cuenta básica sale más barata.
Si es positivo, la especial sale más barata.
Se igualan cuando 0.12x = 10, es decir cerca de 83 cheques al mes.
💭 No todas las preguntas piden esto, pero entender qué representa la expresión te ayuda a detectar respuestas absurdas antes de marcarlas.
