Álgebra · Factorización
Factorizar completamente
Sacar primero el factor común y después el trinomio6k² − 2k − 4 paso a paso
El desarrollo cambia según la pregunta del quiz.
El problema
¿Cuál expresión muestra 6k² − 2k − 4 completamente factorizado?
Fíjate en la palabra completamente. Ahí está toda la dificultad: hay una opción que sí da la expresión original, pero que no es la respuesta.
Paso 1 — Siempre busca primero el factor común
Antes de cualquier otra cosa, revisa si los tres términos comparten un número.
| Término | Se divide entre 2 |
|---|---|
| 6k² | 3k² |
| −2k | −k |
| −4 | −2 |
6k² − 2k − 4 = 2(3k² − k − 2)
🔑 Este paso es obligatorio. Si te lo saltas, puedes llegar a una respuesta que parece correcta pero que todavía se puede factorizar más.
Paso 2 — Factoriza el trinomio de adentro
Ahora hay que factorizar 3k² − k − 2. Como el primer coeficiente no es 1, se usa el método de multiplicar y sumar.
Multiplica el primero por el último: 3 × (−2) = −6
Busca dos números que den −6 al multiplicar y −1 al sumar (el −1 es el coeficiente del medio): son −3 y +2
Separa el término del medio: 3k² − 3k + 2k − 2
Agrupa de dos en dos: 3k(k − 1) + 2(k − 1)
Saca el paréntesis repetido: (k − 1)(3k + 2)
6k² − 2k − 4 = 2(3k + 2)(k − 1)
Comprobar multiplicando
Primero los paréntesis: (3k + 2)(k − 1) = 3k² − 3k + 2k − 2 = 3k² − k − 2
Después el 2: 2(3k² − k − 2) = 6k² − 2k − 4 ✓
Coincide con la expresión original, así que la factorización es correcta.
La trampa: (6k + 4)(k − 1)
Si multiplicas esa opción, obtienes exactamente la expresión original:
(6k + 4)(k − 1) = 6k² − 6k + 4k − 4 = 6k² − 2k − 4 ✓
Entonces, ¿por qué no es la respuesta? Porque el paréntesis (6k + 4) todavía tiene factor común:
6k + 4 = 2(3k + 2)
Por eso (6k + 4)(k − 1) = 2(3k + 2)(k − 1), que es la opción correcta
🎯 Las dos expresiones valen lo mismo, pero solo una está completamente factorizada. El examen pide la que ya no se puede descomponer más.
Las otras dos opciones
2(3k − 1)(k + 2) — Al multiplicar da 6k² + 10k − 4. El término del medio no coincide.
(3k + 2)(2k − 1) — Al multiplicar da 6k² + k − 2. Ni el término del medio ni el último coinciden.
✖️ Estas dos ni siquiera dan la expresión original. Se descartan multiplicando en treinta segundos.
¿Qué significa "completamente factorizado"?
Que ninguno de los factores se puede seguir descomponiendo.
| Expresión | ¿Completa? | Por qué |
|---|---|---|
| 2(3k + 2)(k − 1) | Sí | ningún factor tiene común |
| (6k + 4)(k − 1) | No | 6k + 4 = 2(3k + 2) |
| 2(3k² − k − 2) | No | el trinomio aún se factoriza |
| 3(2x + 6) | No | 2x + 6 = 2(x + 3) |
🔍 Revisa cada paréntesis al final: si los números de adentro comparten un divisor, todavía te falta un paso.
0
Correctas
0
Incorrectas
0/8
Progreso
El orden que nunca falla
1. Factor común primero. Siempre, sin excepción.
2. Factoriza lo que quedó adentro (normalmente un trinomio).
3. Revisa cada factor por si todavía se puede descomponer.
4. Multiplica todo de regreso para comprobar.
💡 Sacar el común primero hace que los números de adentro sean más chicos y el trinomio mucho más fácil de factorizar.
Factorizar un trinomio ax² + bx + c
Cuando la a no es 1, usa el método de multiplicar y sumar:
busca dos números que den a · c al multiplicar y b al sumar
| Trinomio | a·c | b | Los dos números | Factores |
|---|---|---|---|---|
| 3k² − k − 2 | −6 | −1 | −3 y 2 | (3k+2)(k−1) |
| x² − 2x − 3 | −3 | −2 | −3 y 1 | (x−3)(x+1) |
| 2x² + 7x + 3 | 6 | 7 | 6 y 1 | (2x+1)(x+3) |
🔢 Guía de signos: si c es negativa, los dos números tienen signos distintos. Si c es positiva, los dos llevan el mismo signo que la b.
El truco más rápido del examen
Como es opción múltiple, multiplica cada opción y compárala con la expresión original.
| Opción | Al multiplicar da | ¿Sirve? |
|---|---|---|
| 2(3k + 2)(k − 1) | 6k² − 2k − 4 | Sí, y está completa ✓ |
| (6k + 4)(k − 1) | 6k² − 2k − 4 | Da lo mismo, pero no está completa |
| 2(3k − 1)(k + 2) | 6k² + 10k − 4 | No |
| (3k + 2)(2k − 1) | 6k² + k − 2 | No |
⚠️ Ojo: multiplicar no basta en esta pregunta, porque dos opciones dan el mismo resultado. Después de multiplicar, revisa cuál tiene todos sus factores ya descompuestos.
Cómo saber si un factor todavía se puede descomponer
- Mira los números del paréntesis: si comparten un divisor, falta sacarlo.
- (6k + 4) → 6 y 4 comparten el 2 → se descompone.
- (3k + 2) → 3 y 2 no comparten nada → ya está listo.
- (4x − 8) → comparten 4 → se descompone en 4(x − 2).
- Si un paréntesis tiene x², probablemente todavía se factoriza.
Errores comunes que debes evitar
- Olvidar el factor común y quedarse con una factorización incompleta.
- Escoger la primera opción que multiplique bien sin revisar si está completa.
- Perder el factor común al final: el 2 tiene que aparecer en la respuesta.
- Equivocarse de signo al buscar los dos números.
- Intercambiar los paréntesis: (3k+2)(2k−1) no es lo mismo que (3k+2)(k−1).
- No comprobar multiplicando de regreso.
Vocabulario clave español ↔ inglés
| Español | English |
|---|---|
| Factorizar | To factor |
| Completamente factorizado | Completely factored |
| Factor común | Common factor (GCF) |
| Trinomio | Trinomial |
| Coeficiente | Coefficient |
| Agrupar | To group |
| Descomponer | To break down |
| Multiplicar de regreso | To multiply back / expand |
| Paréntesis | Parentheses |