Álgebra · Funciones cuadráticas
Comparar dos lanzamientos: ecuación y tabla
Interceptos x e y en dos representaciones distintasLos dos lanzamientos en el mismo plano
La gráfica cambia según la pregunta del quiz.
El problema
Jonathan lanzó una pelota al aire dos veces. La altura y en pies, x segundos después del lanzamiento:
Lanzamiento 1: y = −16x² + 20x + 5
Lanzamiento 2: la tabla (0, 5) · (1, 29) · (2, 21)
¿Qué afirmación sobre los interceptos x e y es verdadera?
Lanzamiento 1: y = −16x² + 20x + 5
Lanzamiento 2: la tabla (0, 5) · (1, 29) · (2, 21)
¿Qué afirmación sobre los interceptos x e y es verdadera?
Hay que comparar dos cosas entre dos formatos distintos: una ecuación y una tabla.
Qué significa cada intercepto aquí
| Intercepto | Matemáticamente | En la vida real |
|---|---|---|
| y | el valor de y cuando x = 0 | la altura desde donde se lanzó la pelota |
| x | el valor de x cuando y = 0 | el segundo en que la pelota toca el suelo |
⚾ Traducir a la situación real ayuda muchísimo: el intercepto y es la altura de la mano al soltar la pelota, y el intercepto x es cuándo cae.
Paso 1 — Los interceptos y
Lanzamiento 1: con x = 0 → y = −16(0)² + 20(0) + 5 = 5
Lanzamiento 2: la tabla ya trae el renglón x = 0 → y = 5
Los dos interceptos y son iguales: 5 pies
💡 En una ecuación de la forma y = ax² + bx + c, el intercepto y es simplemente la c, el número que va solo. Aquí es 5 en los dos casos, así que Jonathan soltó la pelota desde la misma altura las dos veces.
Paso 2 — Los interceptos x, sin resolver nada
No hace falta resolver ninguna ecuación cuadrática. Basta con ver dónde está cada pelota a los 2 segundos.
| Tiempo | Lanzamiento 1 | Lanzamiento 2 |
|---|---|---|
| x = 0 | 5 | 5 |
| x = 1 | 9 | 29 |
| x = 2 | −19 | 21 |
Lanzamiento 1 a los 2 segundos: −16(4) + 20(2) + 5 = −64 + 40 + 5 = −19. Una altura negativa es imposible: la pelota ya cayó antes de los 2 segundos.
Lanzamiento 2 a los 2 segundos: según la tabla sigue a 21 pies de altura, todavía en el aire.
El intercepto x del lanzamiento 1 es menor
La respuesta completa
intercepto x del lanzamiento 1 menor · interceptos y iguales
Si quieres los valores exactos: el lanzamiento 1 cae a los 1.46 segundos y el lanzamiento 2 a los 2.62 segundos. Pero para contestar no hacía falta calcularlos.
🎯 Fíjate cómo están construidas las opciones: dos dicen "menor" y dos dicen "mayor"; dos dicen "iguales" y dos "distintos". Son dos decisiones independientes, y cada una elimina la mitad de las opciones.
Si quieres la ecuación del lanzamiento 2
No es necesaria para el problema, pero se puede sacar de la tabla:
De (0, 5): el término constante es 5
De (1, 29): a + b + 5 = 29 → a + b = 24
De (2, 21): 4a + 2b + 5 = 21 → 2a + b = 8
Restando: a = −16, y entonces b = 40
Lanzamiento 2: y = −16x² + 40x + 5
🔬 El −16 aparece en los dos porque es el efecto de la gravedad (en pies por segundo al cuadrado). Lo que cambia es el 40 contra el 20: el segundo lanzamiento salió al doble de velocidad, por eso subió más y tardó más en caer.
0
Correctas
0
Incorrectas
0/8
Progreso
Sacar el intercepto y de cualquier formato
| Formato | Cómo lo encuentras |
|---|---|
| Ecuación y = ax² + bx + c | es la c (o sustituye x = 0) |
| Tabla | busca el renglón donde x = 0 |
| Gráfica | donde la curva cruza el eje vertical |
| Situación real | el valor inicial, al empezar |
📌 Si la tabla no trae el renglón x = 0, hay que deducirlo. Por suerte, en estos problemas casi siempre viene incluido.
Comparar interceptos x sin resolver
1. Evalúa las dos funciones en el mismo valor de x.
2. Si una ya es negativa y la otra sigue positiva, la negativa cruzó primero.
3. Esa es la del intercepto x menor.
⚡ Este truco evita por completo la fórmula cuadrática. En el examen ahorra varios minutos y elimina el riesgo de equivocarte con la raíz.
Cómo leer una altura negativa
En un problema de altura, un resultado negativo significa que ese momento ya pasó: la pelota tocó el suelo antes.
| Resultado | Interpretación |
|---|---|
| y > 0 | la pelota sigue en el aire |
| y = 0 | toca el suelo justo en ese instante |
| y < 0 | ya cayó antes de ese momento |
Preguntas con dos comparaciones
Cuando las opciones combinan dos afirmaciones, trátalas como dos preguntas separadas.
| Decisión | Aquí | Elimina… |
|---|---|---|
| ¿Los interceptos y son iguales o distintos? | iguales (5 y 5) | las dos opciones que dicen "distintos" |
| ¿El intercepto x de 1 es mayor o menor? | menor | la opción que dice "mayor" |
✂️ Contesta la parte que te resulte más fácil primero. Aquí los interceptos y se comparan en dos segundos, y eso ya deja solo dos opciones.
El −16 de los problemas de caída
En el sistema inglés, la altura de un objeto lanzado sigue este modelo:
y = −16x² + (velocidad inicial)x + (altura inicial)
| Parte | Lanzamiento 1 | Lanzamiento 2 |
|---|---|---|
| Gravedad | −16 | −16 |
| Velocidad inicial | 20 pies/s | 40 pies/s |
| Altura inicial | 5 pies | 5 pies |
🧠 Reconocer estas tres partes te deja interpretar cualquier problema de pelotas, cohetes o fuegos artificiales del GED sin memorizar nada más.
Errores comunes que debes evitar
- Confundir el intercepto x con el y. El y es cuando x = 0; el x es cuando y = 0.
- Intentar resolver la cuadrática cuando basta con evaluar y comparar.
- Ignorar la tabla pensando que hay que hallar su ecuación primero.
- Contestar solo una de las dos comparaciones que pide la opción.
- Olvidar que una altura negativa no existe en el contexto del problema.
Vocabulario clave español ↔ inglés
| Español | English |
|---|---|
| Lanzamiento | Launch / throw |
| Intercepto x / y | x-intercept / y-intercept |
| Altura inicial | Initial height |
| Velocidad inicial | Initial velocity |
| Toca el suelo | Hits the ground |
| Es mayor / menor que | Is greater / less than |
| Son iguales / distintos | Are the same / different |
| En relación con el tiempo | With respect to time |