Geometría analítica · Pendiente e intercepto
¿Cuál ecuación corresponde a esta gráfica?
Leer la pendiente y el intercepto directamente del dibujoLa línea de la gráfica
La figura cambia según la pregunta del quiz.
El problema
La gráfica muestra una línea recta que baja de izquierda a derecha, cruza el eje vertical en 5 y pasa por el punto marcado (3, −2).
¿Cuál es una ecuación de la línea que se muestra en la gráfica?
¿Cuál es una ecuación de la línea que se muestra en la gráfica?
Toda la información que necesitas ya está en el dibujo. Solo hay que sacar dos números: la pendiente y el intercepto.
La forma que hay que llenar
y = mx + b
| Letra | Qué es | Dónde se ve en la gráfica |
|---|---|---|
| m | La pendiente | Qué tan inclinada está y hacia dónde va |
| b | El intercepto en y | Dónde la línea cruza el eje vertical |
Paso 1 — ¿Sube o baja?
Lee la línea siempre de izquierda a derecha, como si leyeras un texto.
| Si de izquierda a derecha la línea… | La pendiente es… |
|---|---|
| Sube ↗ | positiva |
| Baja ↘ | negativa |
Esta línea baja → la pendiente es negativa
✂️ Con solo esto se eliminan dos opciones: y = 3x + 2 y y = 3x − 2 tienen pendiente positiva (+3), así que subirían. No pueden ser.
Paso 2 — Encuentra la b
El intercepto es donde la línea toca el eje vertical, o sea donde x = 0.
La línea cruza el eje y en 5 → b = 5
⚠️ La b no es la coordenada y de cualquier punto marcado. El punto (3, −2) está sobre la línea, pero su −2 no es el intercepto: la línea ahí ya avanzó 3 unidades hacia la derecha.
Paso 3 — Calcula la pendiente
La pendiente compara cuánto sube o baja con cuánto avanza:
m = cambio vertical ÷ cambio horizontal
Usa dos puntos fáciles de leer: el intercepto (0, 5) y el punto marcado (3, −2).
Vertical: de 5 baja a −2 → −7
Horizontal: de 0 avanza a 3 → +3
m = −7/3
🔢 Si prefieres la fórmula: m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) = (−2 − 5) / (3 − 0) = −7/3. Es la misma cuenta escrita de otra forma.
Paso 4 — Arma la ecuación
y = −7/3 x + 5
Comprueba con el punto marcado: y = −7/3 (3) + 5 = −7 + 5 = −2 ✓
El punto (3, −2) sí está en la línea. La ecuación es correcta.
La trampa: −7/3 contra −3/7
Las dos opciones negativas usan los mismos números, solo que volteados. Esa es toda la diferencia.
| Pendiente | Significa | Cómo se ve |
|---|---|---|
| −7/3 | Baja 7 al avanzar 3 | Muy inclinada |
| −3/7 | Baja 3 al avanzar 7 | Casi acostada |
📐 Truco visual: si la línea es más vertical que horizontal, la pendiente es mayor que 1 (sin contar el signo). Esta línea baja rápido, así que 7/3 ≈ 2.3 tiene sentido; 3/7 ≈ 0.43 sería una línea casi plana.
De dónde salen las opciones incorrectas
y = 3x + 2 — Pendiente positiva: la línea subiría.
y = 3x − 2 — Pendiente positiva, y además tomó el −2 del punto marcado como si fuera el intercepto.
y = −3/7 x + 5 — El intercepto está bien, pero volteó la fracción de la pendiente.
🎯 Atajo definitivo: sustituye el punto marcado (3, −2) en las cuatro opciones. Solo una da −2; las otras dan 11, 26/7 y 7. Esta prueba resuelve la pregunta sin calcular ninguna pendiente.
0
Correctas
0
Incorrectas
0/8
Progreso
El orden para leer cualquier gráfica
1. ¿Sube o baja? → decide el signo de m.
2. ¿Dónde cruza el eje vertical? → ese es b.
3. Busca dos puntos que caigan justo en las esquinas de la cuadrícula.
4. Cuenta cuánto baja/sube y cuánto avanza → esa es m.
5. Escribe y = mx + b y comprueba con un punto.
👣 Contar cuadritos es tan válido como usar la fórmula, y casi siempre es más rápido. Solo asegúrate de que los dos puntos estén exactamente sobre una intersección de la cuadrícula.
Vertical arriba, horizontal abajo
m = vertical / horizontal
El error de voltear la fracción es el más común de todo este tema. Una forma de recordarlo:
| Primero | Después |
|---|---|
| Subes o bajas (vertical) | Caminas (horizontal) |
| Va arriba de la fracción | Va abajo |
🪜 Piensa en una escalera: primero mides la altura del escalón, luego lo hondo que es. Altura sobre fondo.
Qué tan inclinada está
| Pendiente | Aspecto de la línea |
|---|---|
| entre 0 y 1 | Acostada, casi horizontal |
| exactamente 1 o −1 | Diagonal perfecta, 45° |
| mayor que 1 | Empinada, casi vertical |
| 0 | Horizontal |
👁️ Compara mentalmente con la diagonal de 45°. Si tu línea es más empinada que esa diagonal, la fracción tiene que ser mayor arriba que abajo.
La prueba del punto
En cualquier pregunta de opción múltiple con una gráfica, puedes sustituir un punto de la línea en cada opción y ver cuál se cumple.
| Opción | Con x = 3 da | ¿Es −2? |
|---|---|---|
| y = 3x + 2 | 11 | No |
| y = −3/7 x + 5 | 3.71 | No |
| y = −7/3 x + 5 | −2 | Sí ✓ |
| y = 3x − 2 | 7 | No |
⭐ Este método es especialmente útil cuando la gráfica no tiene puntos cómodos o cuando ya te quedan pocos minutos. Usa siempre un punto que esté claramente marcado en el dibujo.
Vocabulario de la gráfica
- Pendiente (m) — la inclinación de la línea.
- Intercepto en y (b) — donde cruza el eje vertical.
- Intercepto en x — donde cruza el eje horizontal (aquí, cerca de 2.1).
- Cambio vertical — lo que sube o baja; en inglés, rise.
- Cambio horizontal — lo que avanza; en inglés, run.
- Forma pendiente-intercepto — la forma y = mx + b.
Cuando el intercepto no se ve
A veces la línea cruza el eje y fuera del recuadro dibujado. En ese caso:
1. Calcula la pendiente con dos puntos visibles.
2. Sustituye uno de esos puntos en y = mx + b y despeja b.
Ejemplo: con m = −7/3 y el punto (3, −2): −2 = −7/3(3) + b → −2 = −7 + b → b = 5
🧩 Esto también sirve para comprobar tu lectura: si calculas b con la fórmula y coincide con lo que ves en el dibujo, tu pendiente es correcta.