Álgebra · Expresiones polinómicas
Restar polinomios: ganancia = ingresos − costo
El signo menos delante del paréntesis cambia todos los signosLa resta paso a paso
El desarrollo cambia según la pregunta del quiz.
El problema
Una expresión del costo de una empresa para producir n bicicletas es −0.017n² − 6.8n + 690. Una expresión de los ingresos que recibe por la venta de n bicicletas es 70n. La ganancia es igual a los ingresos menos el costo. ¿Cuál es una expresión de la ganancia por producir y vender n bicicletas?
Toda la dificultad está en una sola cosa: restar una expresión completa, no un solo número.
Paso 1 — Escribe la resta con paréntesis
El problema dice: la ganancia es ingresos menos costo. Escríbelo tal cual, y pon el costo entre paréntesis.
ganancia = 70n − (−0.017n² − 6.8n + 690)
🚨 Los paréntesis no son opcionales. Sin ellos, el signo menos solo afectaría al primer término y todo lo demás saldría mal.
Paso 2 — El menos cambia TODOS los signos
Un signo menos delante de un paréntesis le da la vuelta al signo de cada término que está adentro.
| Término dentro | Al salir del paréntesis |
|---|---|
| −0.017n² | +0.017n² |
| −6.8n | +6.8n |
| +690 | −690 |
ganancia = 70n + 0.017n² + 6.8n − 690
💡 Los tres signos cambian, incluido el del 690, que era positivo y se vuelve negativo. Ese es el que más se olvida.
Paso 3 — Combina los términos semejantes
Solo se pueden sumar los términos que tienen la misma letra con el mismo exponente.
Los n²: solo hay uno → 0.017n²
Los n: 70n + 6.8n = 76.8n
Los números solos: solo hay uno → −690
ganancia = 0.017n² + 76.8n − 690
Se acostumbra ordenar de mayor a menor exponente: primero n², luego n, luego el número solo.
Comprobar con un número
Esta es la forma más segura de saber si acertaste. Escoge un número fácil, por ejemplo n = 10 bicicletas.
Costo: −0.017(100) − 6.8(10) + 690 = −1.7 − 68 + 690 = 620.3
Ingresos: 70(10) = 700
Ganancia real: 700 − 620.3 = 79.7
Con nuestra expresión: 0.017(100) + 76.8(10) − 690 = 1.7 + 768 − 690 = 79.7 ✓
✅ Los dos caminos dan lo mismo, así que la expresión es correcta. Si alguna opción no da 79.7 con n = 10, queda descartada de inmediato.
De dónde salen las opciones falsas
−0.017n² + 63.2n + 690 — Sumó en vez de restar. Al sumar, −6.8n + 70n da 63.2n y ningún signo cambia.
−0.017n² − 76.8n + 690 — Restó al revés: costo menos ingresos. Es la ganancia con todos los signos invertidos.
0.017n² + 63.2n + 690 — Mezcla los dos errores: cambió unos signos sí y otros no.
🎯 Fíjate en el patrón: el 63.2 siempre viene de sumar (70 − 6.8) y el 76.8 de restar correctamente (70 + 6.8). Ese solo número te dice si la opción va por buen camino.
Un truco que evita errores
En vez de "restar", piensa en sumar el opuesto: cambia el signo de cada término del segundo polinomio y luego suma todo normalmente.
A − B = A + (opuesto de B)
70n − (−0.017n² − 6.8n + 690) → 70n + (0.017n² + 6.8n − 690)
Así ya no hay ninguna resta y solo tienes que juntar términos semejantes.
0
Correctas
0
Incorrectas
0/8
Progreso
Términos semejantes: qué se puede juntar
Dos términos son semejantes solo si tienen la misma letra elevada al mismo exponente. El número de adelante no importa.
| Pareja | ¿Se pueden combinar? |
|---|---|
| 70n y 6.8n | Sí → 76.8n |
| 0.017n² y 3n² | Sí → 3.017n² |
| 0.017n² y 6.8n | No: distinto exponente |
| 690 y 70n | No: uno tiene letra y el otro no |
🧱 Piénsalo como cajas: los n² van con los n², los n con los n y los números solos entre ellos. No se puede sumar una manzana con una naranja.
La regla del paréntesis
| Delante del paréntesis hay… | Los signos de adentro… |
|---|---|
| + (o nada) | se quedan igual |
| − | cambian TODOS |
Ejemplo: −(3x − 5) = −3x + 5
Ejemplo: −(−2x² + 4x − 7) = 2x² − 4x + 7
✍️ Truco visual: escribe el signo menos encima de cada término antes de quitar el paréntesis. Así no se te escapa ninguno, sobre todo el último.
Estrategia de 4 pasos
1. Escribe la resta con paréntesis. Ingresos − (costo completo).
2. Cambia los signos de todos los términos del paréntesis.
3. Junta los semejantes y ordena de mayor a menor exponente.
4. Comprueba con un número fácil, como n = 1 o n = 10.
🔢 Con n = 1 la comprobación es aún más rápida: costo = −0.017 − 6.8 + 690 = 683.183, ingresos = 70, ganancia = −613.183. Y la expresión da 0.017 + 76.8 − 690 = −613.183 ✓
Vocabulario del dinero en los problemas
| Palabra | Qué significa |
|---|---|
| Ingresos | El dinero que entra por las ventas |
| Costo | El dinero que se gasta en producir |
| Ganancia | ingresos − costo |
| Pérdida | Ganancia negativa (el costo fue mayor) |
| Punto de equilibrio | Cuando la ganancia es cero |
📌 El orden importa: ingresos primero, costo después. Si lo haces al revés obtienes la ganancia con todos los signos cambiados, que es justo una de las opciones falsas.
Errores comunes que debes evitar
- Cambiar solo el primer signo del paréntesis y dejar los demás igual.
- Olvidar el signo del último término (aquí, el +690 que se vuelve −690).
- Sumar en vez de restar, lo que da 63.2n en lugar de 76.8n.
- Restar al revés: costo menos ingresos.
- Combinar términos que no son semejantes, como n² con n.
- No comprobar con un número. Es la verificación más rápida que existe.
Vocabulario clave español ↔ inglés
| Español | English |
|---|---|
| Expresión | Expression |
| Polinomio | Polynomial |
| Términos semejantes | Like terms |
| Coeficiente | Coefficient |
| Exponente | Exponent |
| Distribuir | To distribute |
| Ingresos | Revenue |
| Costo | Cost |
| Ganancia | Profit |
| Simplificar | To simplify |
| Opuesto | Opposite |